響きがかっこいい「完全数」
文系が語る数字シリーズ第二弾！
ずいぶん前に素数について書きましたが、本日は完全数について書いてみようかと思います。
前書いた素数のやつ
今回も適当極まりない文章になることが予想されますので、あらかじめご承知おきください。
ところで完全数とは何でしょうか。
素数は小学校とか中学校とかで習うので知っている方が多いと思いますが、完全数に関しては学校で教わった記憶がないのでどのような数字か知らないという方が多いかもしれません。
ひょっとすると授業をきちんと聞いていなかったからこのように思っているのかもしれませんが。
そうだったら先生ごめんなさい。
完全数の定義は
自然数nのすべての正の約数の和をS(n)で表すとき、
S(n)=2n
となるnを完全数という。
と旺文社の参考書に書いてありました。
かみ砕いていえば「自然数の約数を全部たしたら自然数の二倍になりました。これが完全数です。」といったところでしょうか。
具体的な数をあげるとまず6をあげることができます。
6の正の約数は「1,2,3,6」
1+2+3+6=12
12＝2×6
なるほどと思っていただけたでしょうか。
わかりにくいと言われたら、ぼくの説明能力がないということだと思うので、説明がうまそうな理系の人に聞いてみてください。
では6以外の完全数は何があるでしょうか。
6の次の完全数は28です。
その次は496。
その次は8128。
そしてその次は33550336。
その次は10桁とかで書くのが面倒なのでやめます。
現在までに48個だか49個だかの完全数が発見されており、うん千万桁のものまであります*1。
今ではおよそ50個の完全数が見つけられていますが、レオンハルト・オイラーという天才数学者が現れるまで6個しか発見されていませんでした。
しかし天才オイラーが「偶数の完全数とメルセンヌ素数は対応した関係にある」ということを発見し、その後の研究がはかどるようになったそうです。
メルセンヌ素数とは2n-1で表すことができる素数ですが、詳しく書くとややこしくなりそうなので今回は説明を省きます
とは言いましても手計算で発見されたのは全部で12個です。
こんなことを言うと味気なくなってしまいますが、あとは全部コンピューターで計算されて見つけられました。
でもぼくはオイラーは天才だと思います。
こんな完全数ですが、個人的に面白いなと思う部分が二つほどあります。
一つは完全数に関するオカルトチックな話があるということです。
そのオカルトチックな話とは
「28は月の公転周期が28日だから完全数だ」
と思っていた人がいたというものです。
数字や数学というのは神とか偶然とか、不確定な要素とかけ離れた存在であると思っています。
あくまで文系の、個人の感想です。
そんな中「完全」数、英語で言えばperfect numberというものにオカルトな話がついてくるのは不思議な感じに思えました。
2つめが現在発見されている完全数は、全部一の位が6か8である、ということです。
そして「完全数は一の位が6か8である」という証明はいまだなされていません。
なんだかよくわからないけど完全数は一の位が6か8。めちゃくちゃ大きな桁の完全数も今のところ全部一の位が6か8。
これってなんだかすごくないですか？と一人で思っています。
ほかにも完全数には「偶数の完全数は無限にあるのか」「奇数の完全数は存在するのか」といった証明されていない問題があります。
とってもシンプルで、名前もシンプルなのに謎があるっていうところは少し魅力的だなと思います。
例えるならそうですね、なぜ人はジャンクフードを食べたくなるのか、みたいな。
完全数に失礼な例えですね。
と、いうわけで今回も文系大学生がもともと持っていた知識と数学の参考書を駆使しつつ数字について書いてみました。
気分が乗ったらほかの数字にまた手を出そうかなと思います。
